波利亚过程
波利亚过程假设正反馈并产生路径依赖的结果和均衡。关于路径依赖的许多典型例子，包括“QWERTY”打字机的发展，都是基于正反馈的，这种情况也被称为收益递增。
在波利亚过程中，我们会往瓮中加入与抽取出来的球相匹配的球，这个过程会产生结果路径依赖（outcome path dependence）。结果路径依赖是指每一周期的结果都取决于先前的结果。结果的长期分布，也就是均衡路径依赖（equilibrium path dependence）也取决于结果。
一个均衡路径依赖的过程，必定是结果路径依赖的。如果长期的结果取决于路径，那么这个路径“沿途”的结果也必定如此。不过，一个过程是结果路径依赖的，并不意味着它一定是均衡路径依赖的。现在发生的事情可能取决于过去，但是长期均衡却可能在一开始就确定下来了。
一只瓮里面装着一个白球和一个灰球。每一周期，都随机抽取出一个球并将这个球与和它颜色相同的另一个球一起放回到瓮中。抽取出来的球的颜色表示结果。
一个人选择学习打网球，还是打壁球，可能取决于其他人的选择。如果更多的朋友选择学习打网球，那么这个人就更有可能也选择学习打网球，因为这会增加他找到伙伴打比赛的机会。与此类似，一个人决定购买什么类型的软件、学习哪种语言或购买哪款智能手机，也可能取决于他的朋友以前做出的选择。类似的逻辑同样适用于企业对技术标准的选择，它们可能会根据其他企业的选择来做出选择。
这个模型通过改变球的分布来刻画这些社会影响。如果灰球代表选择学习打网球的人，白球代表选择学习打壁球的人，那么，当更多的人选择学习打网球时，瓮里面就包含了更多的灰球，从而导致后来的人更加有可能选择学习打网球。对更多人所选择的结果的这种不断增长的牵引力创造了路径依赖。
我们可以从波利亚过程中推导出两个令人意想不到的性质。首先，具有相同数量的白色结果的任何序列都会以相同的概率发生。其次，白球和灰球的每个分布都以相同的概率发生。第二个性质意味着极端的路径依赖。任何事情都可能发生，一切皆有可能。在1,000个周期之后，瓮中包含了40%的白球的概率等于包含了2%的白球的概率。如果我们将波利亚过程加以扩展，也就是进一步加入其他颜色的球，这两个性质仍然成立。各种颜色的任何比例都会出现而且概率相同。
这些结果为消费品生产商带来了一个难题：消费者对产品某些性质的长期偏好可能是随机的。无法预测结果的知识仍然可以用来指导行动。例如，福特公司不会希望出现这样的情况：生产出了4万辆黄色皮卡车，后来却发现在一个路径依赖的过程中，红色成了消费者最喜欢的颜色。不受欢迎的颜色的产品会大量积压在库存中，这种可能性指向两种可能的行动。生产企业可以考虑建立这样的供应链：把颜色的决定放在最后一个环节。例如，服装公司可以先不给毛衣染色，直到看清楚流行的颜色是什么为止。或者，生产企业也可以不给消费者选择的机会。亨利·福特只提供一种颜色的T型车，即黑色T型车。苹果公司在推出第一款iPhone时也做了同样的事情：你可以买一部黑色的iPone，或者以同样的价格买另一部黑色的iPone。
均衡过程
一个瓮包含一个白球和一个灰球。每一周期都随机抽取出一个球，并将与抽取出来的球颜色相反的球与抽取出来的那个球一起放回到瓮中。球的颜色表示结果。
均衡过程的假设与波利亚过程恰恰相反。这个过程也会产生路径依赖的结果，因为任何一个周期结果的可能性取决于过去的结果的历史。但是，它不会产生依赖于路径的均衡。从长远来看，瓮收敛为每种颜色的球的比例都相同。
均衡过程可以用来刻画有趋向平等分配压力的决策或行动序列。有两个孩子的父母可能会尝试给每个孩子分配相同的时间。与一个孩子共度了一个下午之后，父母会产生与另一个孩子共度更多时光的愿望。
路径依赖还是临界点
路径依赖是对结果的逐渐影响，临界点则意味着结果的突然变化。
我们可以利用可能结果的概率变化来度量路径依赖和临界点。对于波利亚过程，初始概率在瓮中的所有分布上都是均匀的，这是一个最大熵分布。随着事件的展开，分布逐渐变窄，标志着路径依赖的形成：当结果出现后，可能发生的事情也会变化。这种熵的减少是渐进的。而对于临界点，概率分布是突然改变的，熵可能会迅速下降。每个过程都有两个可能的结果。事件发生后，概率就变了，后续事件也会改变概率。具有临界点的过程出现大幅度的转折，而路径依赖的过程则变化缓慢。
路径依赖模型的应用
当行为具有很大的社会性成分时，几乎任何事情都有可能发生。模型思维告诉我们，行为差异既可能是社会影响的结果，也可能是不同的内在偏好所致。在任何时候，只要人们在一组固定的备选项中进行选择，而且他们的选择依赖于其他人先前做出的选择时，就会出现这种情况。
模型还可以扩展到允许社会影响因所选方案的不同而变化。具有异国情调的绿茶冰激凌则可能得到更具多样性的反馈：一个朋友可能不喜欢它并且劝你不要尝试，另一个朋友可能很喜欢它并鼓励你一定要试一试。反馈的变化越少，选择这种结果的可能性就越大。模型也可以改变，使人们对社会影响的敏感性不同，也就是说，人们对加入瓮中的球赋予不同的权度。
路径依赖现象会出现在各种各样的情况下。只要一个行动会与未来行动“相遇”或与未来行动相互作用，就会出现某种程度的路径依赖（如果不是均衡路径依赖，也会是结果路径依赖）。在做出关于大型公共项目的决策时也是如此。建造公园或高速公路的决定会对未来的规划决策构成约束。路径依赖程度通常取决于项目的规模。例如，纽约中央公园对纽约市的发展就产生了深远的影响。虽然波利亚过程揭示了交互导致路径依赖的这个核心思想，但是要利用这个洞见来指导行动，还需要更加真实的模型。
风险价值与波动性
我们可以将时间序列数据中的标准差解释为波动性。对股票、房地产和私人股权的投资都会表现出波动性。风险价值（value at risk，VaR）衡量的是在某个特定时间段内损失特定金额的概率。一项风险价值为一年5%的总额为1万美元的投资，在一年结束时损失超过1万美元的可能性为5%。银行使用风险价值法来确定为了避免破产手头必须持有的资产数量。例如，为了保证一项风险价值为两周40%的1万美元投资的安全，投资者可能被要求必须持有10万美元的现金。
如果投资遵循简单随机游走，且每一周期投资规模的增大量或减少量为M，那么它的风险价值为N期2.5%的2M$\sqrt{N}$。这些计算依据的是以下事实：长度为N的随机游走的值的标准差等于$\sqrt{N}$。2.5%对应于两个标准差。
因此，每天随机上涨或下跌1,000美元投资的风险价值为9天2.5%的6,000美元，或者，一年2.5%的38,000美元。考虑到风险价值在步骤大小上是线性增长的，但它会像周期数的平方根一样增长，我们可以使用风险价值来解释为什么美国联邦存款保险公司（Federal Deposit Insurance Corporation）只要求银行保留相当于资产总额的2%隔夜现金，而银行则要求消费者支付房子总价的20%。这种差异是由于贷款期限不同所致。隔夜贷款的期限是一天，住房贷款可能持续数十年。3,065天的平方根约为60。
这里，我们假设了一个正态随机游走，计算风险价值的分析师通常考虑过去的经验收益分布。如果经验分布有一个较长的尾部，也就是说，如果它包含更多的大事件，那么风险价值会随着大事件的发生而增加。
虽然风险价值起源于金融领域，但是它所包含的思想却是可以广泛应用的。一个由非营利组织运营并由志愿者提供服务的施粥处通常需要25名志愿者，该组织可能想了解缺乏足够志愿者的可能性。如果志愿者的数量是一个每个星期增加或减少一个人的简单随机游走，那么就可以利用上面的风险价值公式，并且将参数设定为M=1和N=52，从而可以确定，风险价值为一年2.5%的15（在一年、2.5%的概率下，风险价值为15），这意味着该非营利组织有2.5%的概率会缺少一名志愿者。